A divisão simples, a divisão certa e a divisão perfeita

O livro “O Homem que Calculava”, de Malba Tahan*, traz uma narrativa muito interessante sobre um problema de divisão que parecia muito simples, mas cuja solução adotada traz uma grande lição.

A estória pode ser resumida da seguinte forma:

Beremiz Samir, chamado de o Homem que Calculava, e seu companheiro de viagem, encontraram nos arredores de Bagdá um homem, maltrapilho e ferido.

Socorreram o infeliz e tomaram conhecimento de sua desgraça: seu nome era Salém Nasair, e era um rico mercador de Bagdá que viajava numa caravana que tinha sido atacada por nômades do deserto. Todos os seus companheiros tinham perecido, mas ele, milagrosamente, tinha conseguido escapar ao se fingir de morto.

Ao concluir sua narrativa, pediu alguma coisa para comer, pois estava quase a morrer de fome. Beremiz tinha 5 pães e seu companheiro, 3 pães. O mercador fez a proposta de compartilhar esses pães entre eles e que, quando chegasse a Bagdá, pagaria 8 moedas de ouro pelo pão que comesse.

Assim fizeram. No dia seguinte, ao cair da tarde, eles chegaram à cidade de Bagdá e logo encontraram um dos vizires (ministros) do Califa (título dado ao soberano da cidade), amigo do mercador, a quem contaram o ocorrido, e que deu dinheiro ao mercador para que este pagasse sua promessa.

Como tinha prometido, o mercador, muito agradecido, quis entregar 5 moedas a Beremiz, pelos cinco pães, e 3 a seu companheiro, que contribuíra com três pães. Com grande surpresa, Beremiz objetou respeitoso:

– Perdão, meu senhor. A divisão, feita desse modo, pode ser muito simples, mas não é matematicamente certa! Se eu dei 5 pães devo receber 7 moedas; o meu companheiro, que deu 3 pães, deve receber apenas uma moeda.

- Pelo nome do Projeta! – interveio o Vizir, que observava o caso. – Como justificar, ó estrangeiro, tão disparatada forma de pagar 8 pães com 8 moedas? Se contribuíste com 5 pães, por que exiges 7 moedas? Se o teu amigo contribuiu com 3 pães, por que afirmas que ele deve receber uma única moeda?

O Homem que Calculava aproximou-se do prestigioso ministro e falou:

– Vou provar-vos, ó Vizir, que a divisão das 8 moedas, pela forma por mim proposta, é matematicamente correta. Quando, durante a viagem, tínhamos fome, eu tirava um pão da caixa em que estavam guardados e repartia-o em três pedaços, comendo, cada um de nós, um desses pedaços. Se eu dei 5 pães, dei, é claro, 15 pedaços (3 x 5); se o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu com 9 pedaços (3 x 3). Houve, assim, um total de 24 pedaços (15 + 9), cabendo portanto, 8 pedaços para cada um. Dos 15 pedaços que dei, comi 8; dei, na realidade 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços e comeu, também, 8; logo deu apenas um. Os 7 pedaços que eu dei e o que meu amigo forneceu formaram os 8 pedaços que couberam ao mercador Salém Nasair. Logo, é justo que eu receba 7 moedas e meu companheiro, apenas uma.

O Vizir, depois de fazer os maiores elogios ao Homem que Calculava, ordenou que lhe fossem entregues 7 moedas, e uma ao seu companheiro. Era lógica perfeita e irrespondível a demonstração apresentada pelo matemático.

– Esta divisão – retorquiu o calculista – de sete moedas para mim e uma para meu amigo, conforme provei, é matematicamente correta, mas não é perfeita aos olhos de Deus!

E, tomando as moedas na mão, dividiu-as em duas partes iguais. Deu para seu companheiro quatro moedas, guardando para si as quatro restantes.

- Esse homem é extraordinário – declarou o Vizir. – Não aceitou a divisão proposta de 8 moedas em duas parcelas de 5 e 3, em que era favorecido: demonstrou ter direito a 7 e que seu companheiro só devia receber uma, acabando por dividir as 8 moedas em duas parcelas iguais, que repartiu, finalmente, com o amigo.

E acrescentou com entusiasmo:

- Mac Allah!** Esse jovem, além de parecer-me um sábio e habilíssimo nos cálculos e na Aritmética, é bom para o amigo e generoso para o companheiro. Tomo-o hoje mesmo, para meu secretário.

E assim foi.

No nosso dia a dia, que tipo de divisão nós costumamos fazer com nossos amigos?

* Malba Tahan – Pseudônimo do escritor e matemático brasileiro Júlio César de Melo e Sousa (1895 — 1974). Foi um dos maiores divulgadores da matemática no Brasil, através de seus romances, livros de recreação matemática, fábulas e lendas passadas no Oriente. Seu livro mais conhecido, O Homem que Calculava, é uma coleção de problemas e curiosidades matemáticas apresentada sob a forma de narrativa das aventuras de um calculista persa à maneira dos contos de Mil e Uma Noites.

** Mac Allah! – (Poderoso é Deus!) – Exclamação usual entre muçulmanos.

“Possui a Matemática uma força maravilhosa capaz de nos fazer compreender muitos mistérios de nossa Fé.” (São Jerônimo)

“As leis da Natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus.” (Kepler)

“A Matemática é um ciência poderosa e bela: problemiza ao mesmo tempo a harmonia divina do Universo e a grandeza do espírito humano.” (F. Gomes Teixeira)

Publicado no Portal da Família em 17/02/2009